Kapitel aus dem Buch:
Wellen und Teilchen
Einführung in die Quantenmechanik

von J.A. e Silva und G. Lochak

Als Einstein 1905 die neue Vorstellung von Raum und Zeit vorschlug, die die Grundlage der speziellen Relativitätstheorie darstellt, führte er gegen die Äthertheorien des 19. Jahrhunderts, die sich im übrigen bereits in großen Schwierigkeiten befanden, einen tödlichen Schlag. Dennoch würde man aber daraus zu Unrecht folgern, daß sich die Relativitätstheorie allen Äthertheorien entgegenstellt und es daher verbietet, dem Raum, der uns umgibt, verborgene physikalische Eigenschaften zuzuschreiben, die für bestimmte Phänomene verantwortlich sind. Es ist tatsächlich durchaus möglich sich einen Äther in Übereinstimmung mit der Relativitätstheorie vorzustellen, solange er kein absolutes Bezugsystem definiert. Daß dies tatsächlich richtig ist, sieht man schon allein daran, daß in die relativistische Theorie der Gravitation auf den Vorschlag von Einstein selbst ein Äther neuer Art eingeführt wurde. Ein anderer, sehr verschiedener ist in der Interpretation du Dirac-Gleichung enthalten. Und die Quantenfeldtheorie schreibt einem »Vakuum«, das von »virtuellen Teilchen« bevölkert und von Fluktuationen bewegt ist, ebenfalls wichtige physikalische Eigenschaften zu.

Eine Theorie der Materie, die auf dem Feldbegriff aufbaut, kann die alte Newtonsche Vorstellung vom Raum schwerlich zulassen, nach der der Raum nur eine leere Bühne ist, auf der sich die Erscheinungen abspielen. Es ist daher nicht erstaunlich, daß man in der Theorie der doppelten Lösung von de Broglie, insbesondere zur Rechtfertigung des Interferenzprinzips, dazu geführt wird, die Existenz eines Äthers zuzulassen, der das subquantische Milieu darstellt. Man betrachtet ihn als eine Art riesiges Energiereservoir, in dem chaotische Bewegung herrscht und unter dessen Einfluß die Teilchen des Quantenniveaus ständigen Schwankungen unterworfen sind.

Um diesem subquantischen Milieu Rechnung zu tragen, hat de Broglie in den letzten Jahren eine Thermodynamik des isolierten Teilchens entwickelt. Der Titel klingt paradox, denn bekanntlich kann die Thermodynamik nur statistische Eigenschaften zusammengesetzter Systeme behandeln, z. B. das durchschnittliche Verhalten der Atome oder Moleküle eines materiellen Elements. Doch wenn ein isoliertes Teilchen, d. h. ein Teilchen, das von jedem anderen Teilchen weit entfernt ist, mit einem in ungeordneter Bewegung befindlichen, verborgenen Milieu in Wechselwirkung steht, so ergibt sich daraus ein Chaos, das dem molekularen Chaos von Boltzmann analog ist. Es scheint daher natürlich, anzunehmen, daß jedes Teilchen einer neuen Thermodynamik gehorcht, die den statistischen Gesetzen dieses Chaos unterworfen ist. Größen wie die Temperatur, die Wärme oder die Entropie erhalten auf diesem viel tiefgründigeren Niveau einen neuen Sinn.

Das wesentliche Problem besteht darin, den Sinn zu verstehen, den diese Größen in der Wellenmechanik haben, und sie dann mit den grundlegenden Größen der Teilchen des atomaren Niveaus zu verknüpfen, wie etwa mit der Masse, der Frequenz oder der Wellenlänge. Das Vorgehen de Broglies mit dem Ziel, diesen Zusammenhang herzustellen, ähnelt in erstaunlicher Weise seinen ersten Überlegungen zum Welle-Teilchen-Dualismus und stellt gewissermaßen eine Fortsetzung dieser Gedanken dar. Bevor wir diese Gedanken hier darlegen, müssen wir deshalb noch einmal kurz dorthin zurückkehren.

Wie wir uns erinnern, stand am Ausgangspunkt der Wellenmechanik die Idee, jedes Teilchen der Masse m als den Sitz einer periodischen Erscheinung der Frequenz v anzusehen. Um es quantitativ auszudrücken: De Broglie verband die Einsteinsche Formel E = m c^2 mit der von Planck E = hv und erhielt die Gleichung

m c^2 = hv

die in sehr allgemeiner Form das Quantenpostulat mit dem Relativitätsprinzip zu verbinden sucht.

Das Relativitätsprinzip zu befriedigen, bedeutet, daß dieses Gesetz für alle Beobachter, die sich zueinander geradlinig und gleichförmig bewegen, dasselbe sein muß. Nun sind weder die Masse noch die Frequenz das, was man relativistische Invarianten nennt, d. h. Größen, die sich vom einen zum anderen Beobachter nicht ändern. Daher müssen sich beide in der Weise ändern, daß die Gleichung, in der sie stehen, erhalten bleibt. Doch dabei tritt eine ernste Schwierigkeit auf. In der Tat: Hat die Masse für einen gegen das Teilchen in Ruhe befindlichen Beobachter einen bestimmten Wert mo, so ist ihr Wert für jeden anderen in Bewegung befindlichen Beobachter größer. Definiert andererseits der ruhende Beobachter die Frequenz vc der periodischen Bewegung, die mit dem Teilchen verbunden ist, so nimmt sie für jeden bewegten Beobachter einen kleineren Wert an. Es ist dies die berühmte Erscheinung der Uhrenverzögerung. Man muß daraus schließen, daß das obige Gesetz für einen speziellen Beobachter gelten kann, zum Beispiel für den ruhenden Beobachter, der dann die zyklische Frequenz, die mit dem Teilchen verbunden ist, definiert. Es muß dann jedoch für alle anderen Beobachter falsch sein. Man sagt, daß ein derartiges Gesetz nicht relativistisch kovariant ist.

In gewissem Sinn ist die Wellenmechanik aus einem Theorem de Broglies entstanden, nach dem sich alles so abspielt, als gäbe es eine Welle, die sich mit einer viel größeren Geschwindigkeit als der des Teilchens fortpflanzt. Sie soll stationär sein und für den ruhenden Beobachter die Frequenz vc haben. Für jeden anderen Beobachter soll sie sich ständig in Phase mit der inneren zyklischen Bewegung des Teilchens befinden. Er zeigte, daß sich die Frequenz dieser Welle von einem Beobachter zum anderen genau wie die Masse transformiert und daß daher die Quantenbeziehung

m c^2 = hv

relativistisch kovariant wird, wenn man in ihr die zyklische Frequenz, die wir von nun an mit vc bezeichnen, durch die Frequenz v dieser Welle ersetzt.

Kehren wir jetzt zur Thermodynamik zurück. Altere Arbeiten von Planck, Einstein und von Laue, die in neuerer Zeit von de Broglie wieder aufgenommen wurden, zeigen, daß die Gesetze der Thermodynamik durch die Relativitätstheorie verändert werden. Im besonderen stellt man fest, daß zwar die Entropie eine relativistische Invariante ist (d.h. sie hat für alle Beobachter denselben Wert), daß dasselbe aber nicht für die Wärme und die Temperatur gilt. Wenn ein bezüglich eines physikalischen Systems ruhender Beobachter mit diesem bei der Temperatur To eine Wärmemenge Qo austauscht, so mißt ein anderer bezüglich des ersten geradlinig und gleichförmig bewegter Beobachter die Wärmemenge Q und die Temperatur T, die niedriger als Qo und To sind. Temperatur und Wärme transformieren sich in derselben Weise, aber entgegengesetzt wie Energie oder Masse, und das (aus Gründen, die wir hier nicht darlegen können), obwohl die Wärme eine Form der Energie ist. Dagegen stellt sich heraus, daß sich die Temperatur genauso wie die zyklische Frequenz vc ändert. De Broglie mißt dieser Übereinstimmung eine sehr große Bedeutung bei.

Wenn man dieser Übereinstimmung vorher niemals größere Bedeutung beigemessen hat, so erklärt sich dies aus der Tatsache, daß sehr viele andere physikalische Größen, wie zum Beispiel das Volumen, genau dieselben Transformationseigenschaften besitzen, ohne daß man darin in den meisten Fällen mehr als eine zufällige Übereinstimmung sehen kann. Doch gewinnt diese Übereinstimmung einen neuen Sinn, wenn man sie mit den Analogien in Verbindung bringt, die Clausius und Boltzmann vor langer Zeit zwischen der Thermodynamik und schwingenden mechanischen Systemen gefunden haben. Die Wärme kann als eine ungeordnete Form der Energie angesehen werden. Diese Gelehrten erkannten aber darüber hinaus, daß der Unterschied zwischen Wärme und Arbeit mit dem quantitativen Unterschied von zwei Bewegungsformen verknüpft werden kann. Die eine dieser Formen ist schnell und chaotisch im Vergleich zur anderen, die langsam und geordnet ist. Derartige Unterschiede finden sich auch in Erscheinungen, die scheinbar keinerlei Zusammenhang mit der Thermodynamik haben.

Wir betrachten zum Beispiel eine Geige, deren eine Saite sich in einem stationären Schwingungszustand befindet. Wir setzen einen Finger auf das Griffbrett und schieben ihn sehr langsam gegen den Steg vor und verkürzen so allmählich den schwingenden Teil der Saite. Da unsere Bewegung sehr langsam ist, erfährt unser Finger durch die sehr schnellen Schwingungen der Saite nur einen gemittelten Effekt. Die Saitenschwingung bleibt dabei stationär. Die Untersuchung zeigt, daß dieser gemittelte Effekt in Gestalt einer Kraft auftritt, die unseren Finger weiter vom Steg zu entfernen sucht. Um sie zu überwinden, müssen wir Arbeit leisten, die die Energie der Schwingung vergrößert.

Man bemerkt die Analogie dieses Vorgangs mit einem anderen, bei dem man langsam einen Kolben in einen thermisch isolierten Zylinder hineindrückt, der ein Gas enthält. Die langsame Bewegung ist hier die des Kolbens, die schnelle Bewegung ist die der Moleküle, von der der Kolben nur einen gemittelten Effekt spürt. Auch hier besteht dieser Effekt in einer Kraft, die den Kolben zurücktreibt, und hier kann der Kolben ebenfalls nur vorrücken, wenn er Arbeit leistet, deren Ergebnis in einer Erhöhung der Energie der Moleküle besteht, was gleichbedeutend mit einer Wärmezufuhr zum Gas ist.

Man erkennt hier eine Parallele zwischen der Wärmeenergie des Gases und der Schwingungsenergie der Saite. Die Analogie geht soweit, daß Clausius und Boltzmann sogar den »Wärmezuwachs« der Saite durch den hinaufgleitenden Finger berechnen konnten. Er ist gleich dem Produkt aus der Frequenz der stationären Schwingung multipliziert mit dem Zuwachs einer mechanischen Größe, die mit der mittleren Energie der Schwingung verknüpft ist und die man Wirkung nennt. Die Formel von Clausius und Boltzmann dient als Ausgangspunkt für die Thermodynamik des isolierten Teilchens.

Wenn ein Teilchen der Sitz einer periodischen Bewegung ist, so kann man ihm tatsächlich die zyklische Frequenz vc zuschreiben, die wir bereits kennen, und man kann ihm ebenfalls eine »Wirkung« zuschreiben. Dann gestattet es die Formel von Clausius und Boltzmann, die Wärmemenge auszurechnen, die das Teilchen mit seiner Umgebung austauscht. Doch dieselbe Wärmemenge ist in Funktion von Entropie und Temperatur auch durch die fundamentale Formel von Clausius gegeben, die in der Thermodynamik gerade der Definition der Entropie zugrunde liegt. Zwischen der Wirkung A und der zyklischen Frequenz vc einerseits und der Entropie S und der Temperatur T andererseits, bestehen daher Beziehungen, die de Broglie in den Formeln ausdrückt

Dabei ist h die Plancksche Konstante und k die sogenannte Boltzmannkonstante der Thermodynamik.

Hier greift abermals die Relativitätstheorie ein, denn da sich zyklische Frequenz und Temperatur von einem Beobachter zum anderen in derselben Weise transformieren, gilt das in der ersten Formel aus gedrückte Gesetz für alle Beobachter. Man kann zeigen, daß dasselbe auch für die zweite Formel gilt. Daraus ergibt sich, daß die Thermodynamik, die den Wärmeaustausch zwischen dem Teilchen und dem subquantischen Milieu beherrscht, keinen irgendwie beschaffenen Beobachter auszeichnet. Der dadurch definierte Äther widerspricht daher keineswegs der Relativitätstheorie, da in ihm keine absolute Bewegung festgestellt werden kann.

Die Formeln, die wir soeben besprochen haben, setzen sehr langsam ablaufende Erscheinungen voraus. Sie können nur in der Nachbarschaft von thermodynamischen Gleichgewichtszuständen des Teilchens gelten. Es ist nur natürlich, diese Zustände mit den stationären Zuständen der Wellenmechanik zu verbinden. Man kann diese Überlegungen jedoch auf den allgemeineren Fall ausdehnen, in dem dieses Gleichgewicht nicht besteht und in dem daher der stationäre Fall nicht realisiert ist. Das Carnotsche Prinzip sagt uns dann, daß die Entropie gegen einen maximalen Wert streben muß, wobei sich das Teilchen irreversibel auf einen Gleichgewichtszustand und damit auf einen Quantenzustand hinbewegt. Daraus folgt, daß die stationären Zustände zwar nicht die einzig möglichen sind, daß sie aber wegen ihrer thermodynamischen Stabilität mit viel größerer Wahrscheinlichkeit als die anderen auftreten. Infolge kleiner Störungen, denen es ständig unterworfen ist, schwankt das Elektron dauernd um einen seiner gequantelten Zustände, außer wenn eine größere Störung das Gleichgewicht zerstört und das Elektron durch einen Übergangsprozeß, der sich in Raum und Zeit beschreiben läßt, in einen anderen stationären Zustand gelangt.

Ohne daß wir diesen Gesichtspunkt hier noch weiter verfolgen wollen, möchten wir doch erwähnen, daß de Broglie bei seiner Untersuchung dieser Fragen die Schwankungen der Masse des Teilchens infolge seines ständigen Energieaustauschs mit dem subquantischen Milieu berücksichtigt hat. Da diese Masse von dem Zustand des Teilchens abhängt, konnte er in einer gewissen Zahl von Fällen zeigen, daß die monochromatischen Zustände die wahrscheinlichsten sind.

Man sieht, daß seine Folgerungen mit den im vorangehenden Unterkapitel entwickelten Gedanken übereinstimmen. Die Übereinstimmung wird noch überraschender, wenn man bemerkt, daß die Stabilität der stationären Schwingungen eines selbsterregten Systems von einer Funktion beherrscht wird, die LiapunowFunktion genannt wird und die bemerkenswerte Eigenschaft hat, daß sie für die stabilen Zustände gegen einen maximalen oder minimalen Wert strebt und daher an die Entropie erinnert. Es scheint uns für die Zukunft mehr als nur ermutigend, daß Überlegungen, die auf derartig prinzipiell verschiedenen Gedanken beruhen, zu Bildern der stationären Zustände und der Quantenübergänge führen, die einander so ähnlich sind.

Die Thermodynamik des isolierten Teilchens bietet jedoch die Aussicht auf eine noch wichtigere Synthese. Wenn ein Teilchen in ständigem Kontakt mit dem Wärmereservoir des subquantischen Milieus steht, so muß, wie eine Untersuchung zeigt, auf die wir hier nicht eingehen können, die Wirkung in der Formel von de Broglie nicht mit der Entropie, sondern mit einer anderen thermodynamischen Funktion verknüpft werden, die ähnliche Eigenschaften hat, nämlich mit der freien Energie. Im Gegensatz zur Entropie verlangt das Carnotsche Prinzip hier, daß diese Funktion für die stabilen Zustände minimal wird. De Broglie konnte eine wellenmechanische Formulierung dieses Sachverhalts finden. Die Verwirklichung eines stationären Zustands ist daher an ein Minimalprinzip für die freie Energie geknüpft. Da diese Größe nun mit der Wirkung zusammenhängt, muß die Wirkung ebenfalls minimal werden. Diese Folgerung schließt sich an das berühmte Maupertuissche Prinzip der kleinsten Wirkung an, das die Ableitung der Gesetze der Mechanik aus der einzigen Hypothese erlaubt, daß die realen Bewegungen eines Körpers gerade die sind, die seine Wirkung minimal machen. Man sieht eine Synthese des Carnotschen Prinzips mit dem Prinzip von Maupertuis. Nun besitzt die Optik ebenfalls ein Minimalprinzip, das sogenannte Fermatsche Prinzip, das besagt, daß das Licht von einem Punkt zum anderen immer dem »schnellsten« Weg folgt. Wenn man in den Grenzfällen, in denen sich die Gesetze der Quantenmechanik an die klassischen Gesetze anschließen, die de Broglie-Welle dem Fermatschen Prinzip unterwirft, so folgt daraus, daß die Bewegung des Teilchens dem Prinzip der kleinsten Wirkung gehorcht. Die Wellenmechanik bildet also eine Brücke zwischen den Gesetzen der Optik und denen der klassischen Dynamik. Da nun aber die Thermodynamik des isolierten Teilchens einen Zusammenhang zwischen dem Prinzip der kleinsten Wirkung und dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik herstellt, erkennt man eine weitgehende Synthese zwischen den Gesetzen der Mechanik, der Optik und der Thermodynamik. Am Kreuzungspunkt dieser Theorien findet man die Prinzipien von Maupertuis, Fermat und Carnot zu einem einzigen System vereinigt.

Ohne daß wir Vermutungen über Resultate anstellen wollen, die die neue Interpretation der Wellenmechanik in der Zukunft bringen mag, scheinen uns doch allein schon die Fragen, die sie aufwirft, und die Perspektiven, die sie eröffnet, ein scheinbar so gewagtes Unternehmen zu rechtfertigen, wie den Versuch, »es anders zu machen«. So groß die Erfolge der Quantenmechanik auch gewesen sind, so scheint es uns doch ebenso unsinnig, in ihr ein im Hinblick auf Formalismus und Prinzipien abgeschlossenes Gebäude zu sehen, wie es unsinnig war, zu glauben, daß die klasische Mechanik mit Newton oder die Optik mit Fresnel abgeschlossen war. Die Vereinigung der Quanten, Korpuskeln und Felder ist eine viel zu schwierige und viel zu tiefgründige Vorstellung, als daß man vorgeben könnte, man habe sie soweit von dem Geheimnis befreit, daß die künftige Forschungsarbeit nur noch in der Entwicklung immer weiter verbesserter Rechenverfahen bestehen könne, die auf bereits etablierten Prinzipien beruhen.

Einsteinturm